Sayı Dizileri Konu Anlatımı

Gerçek Sayı Dizileri Konu Anlatımı

f : N⁺→ R tanımlı f fonksiyonuna gerçek sayı dizisi denir.

Dizinin genel terimi (a_n) ile gösterilir, n. terim demektir. Genel terimi aşağıda verilen örnekle anlayalım.

• (a_n) = (n³ + 7n) olan bir dizinin 2. terimi a₂ = 2³ + 7. 2 = 22 bulunur.
• Genel terimi (n² + 9) olan bir dizinin 2. ve 7. terimlerinin toplamını bulalım.
  • a₂ = 2² + 9 = 13
  • a₇ = 7² + 9 = 58
  • Bu iki terimin toplamı 13+58 = 71

---

Sabit Dizi

Bütün terimleri birbirine eşit olan dizilerdir.

(a_n) = (k,k,k,…..,k)

---

Eşit Diziler

Her n Є N⁺ için (a_n) = (b_n) ise bu iki dizi birbirine eşittir denir.

• a₁ = b₁
• a₂ = b₂
• …
• a_n = b_n

---

Aritmetik  Dizi

Ardışık terimleri arasındaki fark eşit olan diziye aritmetik dizi denir.

Her n Є Z⁺ ve d Є R için a_n+1 – a_n = d eşitliğini sağlayan dizilerdir.

Burada d, aritmetik dizinin ortak farkıdır.

Aritmetik Dizilerde Genel Terim

İlk terim a₁ ve ortak fark d olmak üzere;

• a₂ = a₁ + d
• a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d
• a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) +d = a₁ + 3d
• …
• a_n = a₁ + (n – 1) . d

bulunur.

Aritmetik Dizilerde Terimlerin Toplamı

Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı S_n olsun.

S_n = (n/2) . (a₁ + a_n)

Örnek: a_n aritmetik dizi, a₃ = 5 ve a₅ = 9 ise a₉’u bulalım.

• a₃ = a₁ + 2d
• a₅ = a₁ + 4d  yazılır.
• a₅ – a₃ = (a₁ + 4d) – (a₁ + 2d) = 2d = 4 ise; d=2 bulunur.
• a₃ = a₁ + 2d yani 5 = a₁ + 4 olur bu durumda a₁ = 1 bulunur.
• a₉ = a₁ + 8d = 1 + 16 = 17 bulunur.

---

Geometrik Dizi

Ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Bu sabit oran, ortak çarpandır (r).

Geometrik Dizilerde Genel Terim

• a_n+1 = a_n . r
• a₂ = a₁ . r
• a₃ = a₂ . r = a₁ . r²
• a₄ = a₃ . r = a₁ . r³
• ….
• a_n = a_n-1 . r = a₁ . r^n-1

Yani bir geometrik dizinin genel terimi a_n = a₁ . r^n-1 bulunur.

Geometrik Dizilerde Terimlerin Toplamı

Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı S_n olsun.

Örnek: İlk terimi 3, ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin 6. Terimini bulalım:

• a₁ = 3 , r = 2 ve a_n = a₁ . r^n-1 olduğundan
• a₆ = 3. 2⁵  = 96 bulunur.

Örnek: a_n  geometrik dizi, a₃ = 4 ve a₅ = 16 ise a₇’u bulalım:

• a₅ = a₃ . r²
• 16 = 4 . r² ise r = 2 bulunur.
• Buradan da a₇ = a₅ . r² = 16 . 4 =64 bulunur.

a, b, c dizisi hem aritmetik hem de geometrik bir dizi ise a = b = c yazılır.